Die besten Kinderseiten zu: polynomdivision

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen hat. Er sagt nichts darüber, wie man diese Lösungen finden kann. Es gibt keine allgemeingültige Lösungsformel!

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Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein: Für x → ± ∞ gilt | f ( x ) | = + ∞ . Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form f(x) = p(x) q(x) .

Aus dem Inhalt:

[...] ist schiefe Asymptote. Fall: n > m + 1 Die Funktion f ( x ) = x 4 − 1 x ist für alle x ≠ 0 definiert. Durch Polynomdivision erhält man f ( x ) = x 3 − 1 x . [...]

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Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x 0 ∈ D f , für die f ( x 0 ) = 0 gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung f ( x ) = 0 zu ermitteln.

Aus dem Inhalt:

[...] eine Funktion vom Grad n − 1 . Dieser Satz lässt sich folgendermaßen beweisen: Sei x 0 eine Nullstelle von f(x). Angenommen durch Polynomdivision erhält man f ( x [...]

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Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome p ( x ) und q ( x ) ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.

Aus dem Inhalt:

[...] Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term [...]

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Im Folgenden soll die Potenzregel der Differenzialrechnung für Potenzfunktionen f ( x ) = x n bewiesen werden. Über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus ist die Potenzregel auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten n ( f a l l s x 0 ≠ 0 ) , mit rationalen Exponenten n ( x > 0 ) und sogar mit reellen Exponenten n ( x > 0 ) anwendbar.

Aus dem Inhalt:

[...]     ( x ≠ x 0 ) Wegen x ≠ x 0 ist die Polynomdivision ausführbar und ergibt:   ( x n − x 0 n ) : ( x − x 0 )     = x n   −   1 + x 0 ⋅ x n   −   2 + x 0 2 ⋅ x n   −   3 + ... + [...]

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Unter einer Potenzfunktion wird eine Funktion mit einer Gleichung der Form y = f ( x ) = x n ( x ∈ ℝ ; n ∈ ℤ \ { 0 } ) verstanden. Ihre Ableitung erfolgt mithilfe der Potenzregel der Differenzialrechnung: Die Funktion f ( x ) = x n ( n ∈ ℕ ; n ≥ 1 ) ist differenzierbar und f ′ ( x ) = n ⋅ x n − 1 gilt.

Aus dem Inhalt:

[...] interaktives Rechenbeispiel Polynomdivision Potenzregel Stand: 2010 Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung. [...]

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Im Folgenden soll die Summenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden. Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden, was mithilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion bewiesen werden kann.

Aus dem Inhalt:

[...] Differenzenquotient Beweisverfahren der vollständigen Induktion Grad Ableitungsfunktion Polynomdivision Potenzregel ganzrationale Funktionen Stand: 2010 Dieser Text [...]

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Eine Näherungslösung einer kubischen Gleichung kann man dadurch erhalten, indem man die Gleichung durch Substitution in die reduzierte Form x 3 + p x + q = 0 bringt und wie folgt in zwei Funktionen zerlegt: y = f 1 ( x ) = x 3 y = f 2 ( x ) = − p x − q Die Graphen dieser Funktionen werden gezeichnet, die Abszisse ihres Schnittpunktes ist eine Näher...

Aus dem Inhalt:

[...] Regula falsi oder Intervallschachtelung) verbessert, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist und die Gleichung dann durch Polynomdivision auf eine quadratische zurückgeführt werden kann. [...]

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Eine Lösungsformel für eine kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades wurde in der Renaissance gefunden und im Jahre 1545 veröffentlicht. Sie ist nach dem italienischen Mathematiker und Arzt GERONIMO CARDANO (1501 bis 1576) benannt, obwohl sie eigentlich auf NICCOLÒ TARTAGLIA (etwa 1500 bis 1557) zurückgeht.

Aus dem Inhalt:

[...]         ≈ 1,999   999 Die exakte Lösung ist x = 2 . Durch die Polynomdivision ( x 3 + 2 x − 4 ) : ( x − 2 ) erhält man das quadratische Polynom x 2 + 2 x + 2 = [...]

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Die kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades hat die allgemeine Form A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 ( A ≠ 0 ) . Nach Division durch A hat sie die Form x 3 + a x 2 + b x + c = 0 .

Aus dem Inhalt:

[...] 1,999   999 Die exakte Lösung ist x = 2. Durch Polynomdivision ( x 3 + 2 x − 4 ) : ( x − 2 ) erhält man das quadratische Polynom x 2 + 2 x + 2 , womit [...]

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