In der Mathematik ist es häufig erforderlich, neue Aussagen aus schon vorhandenen Aussagen zu gewinnen oder auch zu zeigen, dass sich eine bestimmte Aussage zwingend aus bereits als wahr erkannten Aussagen ergibt.
Aus dem Inhalt:
[...] eines Satzes bewiesen werden soll (vgl. das nachfolgende Beispiel zum Äquivalenzschluss). Regel der Fallunterscheidung Wenn unter gegebenen Voraussetzungen [...]
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Gleichungen, bei denen von der Variablen (Unbekannten) direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Aus dem Inhalt:
[...] Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen. [...]
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Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Aus dem Inhalt:
[...] noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen. Dies wird für lineare [...]
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Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen der Form y = f ( x ) = a x 2 + b x + c . Man erhält y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung y = f ( x ) = x 2 + p x + q , p , q ∈ ℝ .
Aus dem Inhalt:
[...] den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen. Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen [...]
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Die Betragsfunktion ist ein Beispiel für eine stückweise erklärte stetige Funktion. Die formale Definition des absoluten Betrages ( Absolutbetrag s) einer reellen Zahl x ist die folgende: f ( x ) = | x | = { x , falls x ≥ 0 − x , falls x < 0 Aus dieser Definition folgt, dass immer | x | ≥ 0 gilt.
Aus dem Inhalt:
[...] Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung (s.o.) geschieht. Im Folgenden [...]
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Die Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 lautet: x 1; 2 = − p 2 ± ( p 2 ) 2 − q Der Radikand ( p 2 ) 2 − q heißt Diskriminante und wird mit D abgekürzt.
Aus dem Inhalt:
[...] Für die quadratische Gleichung in allgemeiner Form a x 2 + b x + c = 0 lässt sich für D = b 2 − 4 a c eine analoge Fallunterscheidung durchführen. [...]
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Eine Funktion mit einer Gleichung der Form y = f ( x ) = a x 2 + b x + c ( mit a ≠ 0, x ∈ ℝ ) oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion.
Aus dem Inhalt:
[...] Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen. Fall 1: p = 0, q = 0 Man erhält die quadratische Funktion f ( x ) = x 2 . [...]
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Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x m n ( x ≥ 0 ; m , n ∈ ℕ ; m ≥ 1 ; n ≥ 2 ) heißen Wurzelfunktionen. Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen, wenn man als Exponenten nicht nur ganze Zahlen, sondern auch gebrochene Zahlen zulässt: x m n = x m n ( x ≥ 0 ; m , n ∈ ℕ ; m ≥ 1 ; n ≥ 2 ) Als Wurzelfunktionen bezeichnet man im we...
Aus dem Inhalt:
[...] dann erhält man nach der Quadratwurzeldefinition | f ( x ) | = x mit folgender Fallunterscheidung: (1) f 1 ( x ) = x , wenn f ( x ) ≥ 0 (2) f 2 ( x ) = − x , [...]
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Die Betragsfunktion ist eine stückweise erklärte stetige Funktion. Sie ist folgendermaßen definiert: f ( x ) = { x für x ≥ 0 − x für x < 0 Die Betragsfunktion ist eine stückweise erklärte stetige Funktion.
Aus dem Inhalt:
[...] der eine Unbekannte enthält, dann ist eine Fallunterscheidung erforderlich: Für alle die Werte der Unbekannten, für die der Wert des Terms größer oder gleich null ist, [...]
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Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x 2 = x auf. Die Funktion f ( x ) = x ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu y = g ( x ) = x 2 , jedoch nur für x ≥ 0 , da die Gleichung g ( x ) = x 2 keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.
Aus dem Inhalt:
[...] man auf beiden Seiten die Wurzel, dann erhält man nach der Quadratwurzeldefinition | f ( x ) | = x mit folgender Fallunterscheidung: (1) f 1 ( x ) = x , wenn f ( x ) ≥ 0 (2) f 2 ( x ) = − x , wenn f ( x ) ≤ 0 . [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/spezielle-wurzelfunktion
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