Für eine Funktion mit einer Gleichung y = f ( x ) , also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung y ' = f ' ( x 0 ) an einer Stelle x 0 erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle: f ' ( x 0 ) = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch,...
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Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer Funktion f der Grenzwert lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h , so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient von f an der Stelle x 0 bezeichnet.
Aus dem Inhalt:
[...] oder Differenzialquotient in P 0 . Der Begriff Ableitung Existiert an der Stelle x 0 des Definitionsbereiches einer reellen Funktion f der Grenzwert des Differenzenquotient ens f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h b z w . [...]
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Im Folgenden wird gezeigt, dass die Sinusfunktion f ( x ) = sin x im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion f ' ( x ) = cos x besitzt. Dazu betrachten wir den Graph der Sinusfunktion f ( x ) = sin x ( x ∈ ℝ ) im Intervall von 0 bis 2 π .
Aus dem Inhalt:
[...] stellen wir den Differenzenquotient en von f an einer beliebigen Stelle x 0 auf: d ( h ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h = sin ( x 0 + h ) − sin x 0 h [...]
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Der Wert eines bestimmten Integrals hängt von der Integrandenfunktion und den Integrationsgrenzen ab. Bei gegebener Integrandenfunktion können sich Untersuchungen am bestimmten Integral auf die Überprüfung des Einflusses von Veränderungen der Integrationsgrenzen beschränken.
Aus dem Inhalt:
[...] der Differenzenquotient von Φ gebildet: F ü r h ≠ 0 u n d ( x + h ) ∈ [ a ; b ] i s t Φ ( x + h ) − Φ ( x ) h = ∫ a x + h f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t h . [...]
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Es sei g mit y = g ( x ) eine über ihrem gesamten Definitionsbereich D f differenzierbare Funktion mit der Ableitung y ′ = g ′ ( x ) . Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor k ∈ ℝ erhält man die Funktion f ( x ) = k ⋅ g ( x ) .
Aus dem Inhalt:
[...] Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor k ∈ ℝ erhält man die Funktion f ( x ) = k ⋅ g ( x ) . Der Differenzenquotient [...]
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Wir vermuten das Folgende: Eine konstante Funktion f ( x ) = c ( c ∈ ℝ , a b e r f e s t ) besitzt für alle x ∈ ℝ die Ableitung f ′ ( x ) = 0. Wir betrachten die konstante Funktion f ( x ) = c für alle x ∈ ℝ .
Aus dem Inhalt:
[...] wird der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle x 0 ∈ D f gebildet: d ( h ) = f ( x 0 + h ) − f ( x ) h = c − c h = 0 h = 0 ( f ü r h ≠ 0 ) Also gilt auch: [...]
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Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden. Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Aus dem Inhalt:
[...] Beweis der Kettenregel Wir bilden den Differenzenquotienten von f und erweitern diesen mit u ( x ) − u ( x 0 ) ≠ 0 : d ( x ) = v ( u ( x ) ) − v ( [...]
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LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker * 15. März 1707 Basel † 18. September 1783 St. Petersburg Die Würdigung der mathematischen Beiträge EULERs muss sich hier auf einige ausgewählte Beispiele beschränken.
Aus dem Inhalt:
[...] als Streckenverhältnisse die Zahl e als Grenzwert von ( 1 + 1 n ) n , Basis der natürlichen Logarithmen das Zeichen Δ x für den Differenzenquotienten das Summenzeichen ∑ [...]
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* 15. März 1707 Basel † 18. September 1783 St. Petersburg LEONHARD EULER war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Bedeutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht.
Aus dem Inhalt:
[...] von ( 1 + 1 n ) n und als Basis der natürlichen Logarithmen; das Zeichen Δ x für den Differenzenquotienten; das Summenzeichen ∑ ; das Symbol i für − 1 [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/leonhard-euler
Die Analysis (oder auch Infinitesimalrechnung) beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Differenzial- und Integralrechnung. Ausgangspunkt für die Integralrechnung war das schon in der Antike betrachtete Problem der Bestimmung des Inhalts von Flächen und Körpern, wie etwa von Rotationskörper n.
Aus dem Inhalt:
[...] In seinem „Calculus“ führte LEIBNIZ bis heute verwendete Schreibweisen, wie etwa d y d x für die Ableitung bzw. das Δ für den Differenzenquotienten , ein. [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/geschichte-der-analysis
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