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Als Fundamentalsatz der Algebra wird folgende Aussage bezeichnet: Jedes Polynom P ( n ) = x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a 1 x + a 0 ( n ≥ 1 ) hat mindestens eine Nullstelle.

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Ist f eine nichtrationale Funktion mit der Gleichung y = f(x), dann ist es nicht möglich, zur Annäherung von y = f(x) ein Polynom n-ter Ordnung zu verwenden, dessen Koeffizienten mit den Ableitungen von y = f(x) an der Stelle x 0 in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung einer ganzrationalen Funktion.

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Die Koeffizienten eines Polynoms P(n) = x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a 1 x + a 0 mit n reellen Nullstellen lassen sich als Summen, Produkte und Summen von Produkten der Nullstellen darstellen.

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Wie aus der Differenzialrechnung bekannt ist, liefert für eine differenzierbare Funktion f die Tangentenfunktion f t gute Näherungen der Funktionswerte von f. Im Folgenden wird der der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten des Näherungspolynoms und den Ableitungen der gegebenen Funktion untersucht.

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Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen hat. Er sagt nichts darüber, wie man diese Lösungen finden kann. Es gibt keine allgemeingültige Lösungsformel!

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Aufgabe der (allgemeinen) Interpolation ist es, zu n + 1 Punkten P 0 , P 1 , P 2 , ..., P n ein Polynom (möglichst kleinen Grades) mit der Eigenschaft p ( x i ) = y i ( m i t i = 0, 1, 2, ..., n ) zu finden.

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Welche Aussagen kann man über die Lösungen ganzrationaler Gleichung n-ten Grades der Form ∑ i = 0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n − 1 x n − 1 + a n x n = 0 ; ( n ∈ ℕ u n d a n ≠ 0 ) im Bereich der reellen bzw. im Bereich der komplexen Zahlen treffen?

Aus dem Inhalt:

[...] Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren [...]

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Eine Funktion f , deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt ganzrationale Funktion (bzw. Polynomfunktion). Ganzrationale Funktionen haben die folgende Form: f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ( mit n ∈ ℕ und a i ∈ ℝ ) Ist a n ≠ 0 , so hat f den Grad n .

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Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome p ( x ) und q ( x ) ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.

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Sind a 1 → , a 2 → , ..., a m → Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V.

Aus dem Inhalt:

[...] ist eindimensional. Beispiel 3: Vektorraum P n der Polynome höchstens n-ten Grades Bevor wir uns mit einem Vektorraum P n der Polynome höchstens n-ten Grades befassen, [...]

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