Die besten Kinderseiten zu: binomialverteilte

Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen. Eine binomialverteilte Zufallsgröße X ∼ B n ; p besitzt den folgenden Erwartungswert : E X = n ⋅ p Diese Aussage kann streng mathematisch bewiesen werden, indem man z.B. die Eigenschaft E ( X + Y ) = E X + E Y oder...

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Ein GALTON-Brett dient zum Veranschaulichen von Binomialverteilungen. Es ist nach dem englischen Naturforscher Sir FRANCIS GALTON (1822 bis 1911) benannt. BERNOULLI-Ketten und damit binomialverteilte Zufallsgrößen X ∼ B n ; p lassen sich mit einem GALTON-Brett veranschaulichen.

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Grenzwertsätze gehören zu den wichtigsten Aussagen der Stochastik. Der französische Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) nannte sie eine der interessantesten und heikelsten Teile der Analysis des Zufalls.

Aus dem Inhalt:

[...] besagt das Folgende: Ist X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit X ∼ B n ;   p , dann gilt: ( 1   )   lim n → ∞ B n ;   p ( { k } ) = 1 σ ⋅ ϕ ( k − μ σ ) [...]

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Wird ein BERNOULLI-Experiment n-mal durchgeführt, ohne dass sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p ändert, so ist die zufällige Anzahl der Erfolge eine Zufallsgröße X, die die n + 1 Werte 0 ; 1 ; 2 ; ... ; n annehmen kann.

Aus dem Inhalt:

[...] n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n   −   k für k ∈ { 0 ;   1 ;   2 ;   ... ;   n } annimmt, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p oder auch kurz B n [...]

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Das empirisches Gesetz der großen Zahlen , welches JAKOB BERNOULLI (1655 bis 1705) als „theorema aureum“ (goldenen Satz) bezeichnet hat, lautet folgendermaßen: Ist A ein Ereignis eines Zufallsexperiments, so stabilisieren sich bei einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen dieses Experiments die relativen Häufigkeiten h n ( A ) .

Aus dem Inhalt:

[...] lässt sich die relative Häufigkeit h n ( A ) als Zufallsgröße 1 n ⋅ X interpretieren. X ist binomialverteilt mit dem Erwartungswert E X = n ⋅ p und der Streuung D 2 X = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) . [...]

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Werden einer Urne mit genau N Kugeln (davon M weiße und N − M rote) genau n Kugeln „auf gut Glück“ entnommen und gibt die Zufallsgröße X die Anzahl der dabei herausgegriffenen weißen Kugeln an, so ist X hypergeometrisch verteilt, wenn die Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden, - im Unterschied zur Entnahme mit Zurücklegen .

Aus dem Inhalt:

[...] der dabei herausgegriffenen weißen Kugeln an, so ist X binomialverteilt , wenn die Entnahme mit Zurücklegen erfolgt. In diesem Fall gilt:   P ( X = k ) = ( n k ) ⋅ ( M N ) k ⋅ ( [...]

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Besteht ein zufälliger Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden Teilvorgängen (oder aus Teilvorgängen, die als nacheinander ablaufend interpretiert werden können), so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment (Zufallsversuch).

Aus dem Inhalt:

[...] Zufallsexperiment durch eine BERNOULLI-Kette modelliert werden, sodass die Anzahl der Gewinnsätze von Axel binomialverteilt ist mit n = 5 und p = 0,6 . [...]

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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielt das Ziehen aus einer Urne mit verschiedenfarbigen, aber ansonsten gleichen Kugeln eine besondere Rolle. Es wird als ein gedankliches Modell zur Interpretation praktischer Aufgaben (insbesondere sogenannter Standardsituationen) genutzt.

Aus dem Inhalt:

[...] Wird dieses Ziehungsschema mit Zurücklegen n-mal durchgeführt, so entspricht dies einer BERNOULLI-Kette und die Anzahl der insgesamt gezogenen schwarzen Kugeln ist binomialverteilt , d.h., es gilt:   P ( { A n z a h l       d e r       s c h [...]

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Statistische Untersuchungen wie zum Beispiel ein Alternativtest werden für die Qualitätskontrolle eingesetzt. Bei der Testkonstruktion ist in folgenden Hauptschritten vorzugehen: Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist.

Aus dem Inhalt:

[...] vom Umfang n. Die Zufallsgröße X darf als binomialverteilt angenommen werden: X ∼ B n   ;     p Um die Prüfkosten niedrig zu halten, wird ein relativ geringer [...]

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Beurteilende Statistik setzt quantitatives Beschreiben von Grundgesamtheiten bzw. Stichproben voraus. Begründete Vermutungen über stochastische Eigenschaften von Grundgesamtheiten nennt man Hypothesen.

Aus dem Inhalt:

[...] = 30   % ) liegt. Das Signifikanzniveau kann entweder vorgegeben werden oder es ist zu ermitteln. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Stichprobe binomialverteilt . [...]

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