Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden. Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann monoton wachsend , wenn für beliebige x 1 , x 2 ∈ I gilt: x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann ...
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Eine Zahlenfolge ( a n ) heißt genau dann monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt: a n + 1 ≥ a n b z w . a n + 1 ≤ a n Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.
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Eine Zahlenfolge ( a n ) heißt genau dann monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt: a n + 1 ≥ a n b z w . a n + 1 ≤ a n Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.
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Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen. Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für x 1 < x 2 ist auch f ( x 1 ) < f ( x 2 ) .
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Bei der Untersuchung von Funktionen und ihren Anwendungen kann es von Interesse sein zu ermitteln, wie sich die Funktionswerte mit wachsenden Argumenten verändern bzw. wie der Graph der Funktion verläuft, wenn die x-Werte seiner Punkte größer werden.
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Unter dem Grenzwert einer Zahlenfolge ( a n ) versteht man eine Zahl g mit folgender Eigenschaft: Für jedes ε > 0 liegen fast alle Glieder der Zahlenfolge in der ε -Umgebung von g, d.h., von einem bestimmten n an gilt | a n − g | < ε .
Aus dem Inhalt:
[...] kann man hinsichtlich der Eigenschaften Monotonie und Beschränktheit untersuchen. Diese Untersuchungen sind nur für unendliche Zahlenfolgen sinnvoll, im Folgenden werden nur solche Folgen betrachtet. [...]
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Eine Funktion, deren Defitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt.
Aus dem Inhalt:
[...] also für alle n, gilt a n + 1 ≥ a n , so ist die Folge monoton wachsend; a n + 1 ≤ a n , so ist die Folge monoton fallend; ( Anmerkung: Lässt man die Gleichheit [...]
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Eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt.
Aus dem Inhalt:
[...] so ist die Folge monoton wachsend; a n + 1 ≤ a n , so ist die Folge monoton fallend; ( Anmerkung: Lässt man die Gleichheit zweier benachbarter Glieder nicht zu, so spricht man von strenger Monotonie.) a n + 1 ⋅ a n < 0 , [...]
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Eine Zahlenfolge, für die a n = a 1 ⋅ q n − 1 gilt, heißt geometrische Folge. Eine geometrische Folge ist dadurch charakterisiert, dass die Folgeglieder jeweils durch Multiplikation mit dem konstanten Faktor q aus dem vorhergehenden Glied entstehen.
Aus dem Inhalt:
[...] Eine geometrische Folge mit a 1 > 0 ist genau dann monoton wachsend , wenn q > 1 ; sie ist genau dann monoton fallend , wenn 0 < q < 1 gilt. Ist q < 0 , [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/geometrische-zahlenfolgen
Eine arithmetische Zahlenfolge ist dadurch charakterisiert, dass aufeinanderfolgende Glieder alle den gleichen Abstand d haben. Jedes Folgeglied (außer dem ersten) ist das arithmetische Mittel seiner benachbarten Glieder.
Aus dem Inhalt:
[...] Eine arithmetische Folge ist genau dann (streng) monoton wachsend, wenn d > 0 ist, sie ist genau dann (streng) monoton fallend, wenn d < 0 ist. Für den Fall d = 0 entsteht die konstante Folge ( a n ) = a 1 ; a 1 ; a 1 ... . [...]
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