Die besten Kinderseiten zu: erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße charakterisiert deren Verteilung durch Angabe eines mittleren Wertes. Dieser muss unter den Werten der Zufallsgröße selbst nicht vorkommen. Auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es (wie bei Häufigkeitsverteilungen) sinnvoll, Mittelwerte zu betrachten.

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Varianz und Standardabweichung kennzeichnen die Streuung der Verteilung einer Zufallsgröße um den Erwartungswert E ( X ) . Die Varianz berechnet sich folgendermaßen V ( X ) = [ x 1 − E ( X ) ] 2 ⋅ p 1 + [ x 2 − E ( X ) ] 2 ⋅ p 2 + ... + [ x k − E ( X ) ] 2 ⋅ p k (wobei p 1 , p 2 ... p k die Wahrscheinlichkeiten der auftretenden Werte x 1 , x 2 ... ...

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Kenngrößen von Zufallsgrößen dienen deren quantitativer Charakterisierung. Wir betrachten im Folgenden binomialverteilte Zufallsgrößen. Eine binomialverteilte Zufallsgröße X ∼ B n ; p besitzt den folgenden Erwartungswert : E X = n ⋅ p Diese Aussage kann streng mathematisch bewiesen werden, indem man z.B. die Eigenschaft E ( X + Y ) = E X + E Y oder...

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Mithilfe des Erwartungswertes der Zufallsgröße Gewinn lassen sich Spiele beurteilen. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des (Brutto-)Gewinns gleich dem Einsatz e ist, d. h., wenn E ( G B ) = e gilt.

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Da Zufallsgrößen oftmals sehr komplizierte mathematische Gebilde sind, sucht man nach zahlenmäßigen Kenngrößen , die über die Zufallsgröße Wesentliches aussagen und zugleich aus Beobachtungsdaten zumindest näherungsweise einfach zu bestimmen sind.

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Eine Normalverteilung N ( μ ; σ 2 ) wird vollständig bestimmt durch ihren Erwartungswert μ und ihre Streuung σ 2 . Es liegt deshalb die Frage nahe, ob man eine beliebige Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren kann – und zwar in eine mit solchen Parametern, die den Termen ihrer Dichte- und Verteilungsfunktion eine möglich...

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Eine Zufallsgröße wird vollständig durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben. Diese gibt an, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie dies tut.

Aus dem Inhalt:

[...] Kenngrößen wie Erwartungswert, Median und Modalwert sowie die Streuung (bzw. Varianz) der Zufallsgröße. Zur Charakterisierung der Asymmetrie einer Zufallsgröße benutzt man darüber hinaus die Kenngröße Schiefe. [...]

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Abschätzungen für Wahrscheinlichkeiten spielen in der Stochastik eine wichtige Rolle, und zwar sowohl bei theoretischen Untersuchungen (Grenzwertsätze) als auch bei praktischen Anwendungen, wenn z.B. nach der noch vertretbaren (hinnehmbaren) Ausschusswahrscheinlichkeit einer Produktionsanlage gefragt wird.

Aus dem Inhalt:

[...] Die tschebyschewsche Ungleichung kann folgendermaßen formuliert werden: Es sei X eine endliche Zufallsgröße mit dem Erwartungswert EX und der Streuung D 2 X . [...]

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Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung P ( | X − E X | ≥ α ) ≤ 1 α 2 ⋅ D 2 X für den Parameter α Vielfache der Standardabweichung σ = D X = E ( X − E X ) 2 , setzt man also α = n ⋅ σ , so erhält man: P ( | X − E X | ≥ n ⋅ σ ) ≤ 1 ( n ⋅ σ ) 2 ⋅ σ 2 = 1 n 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fach...

Aus dem Inhalt:

[...] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine endliche Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert E X = μ und der Streuung D 2 X = σ 2 – Werte im 2 σ - I n t e r v a l l       ]   μ − 2 σ ; [...]

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Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der PASCALschen Verteilung , die ihren Namen zu Ehren BLAISE PASCALS (1623 bis 1662) erhielt. Beispiel: Von Würfelbrettspielen, wie etwa dem Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel, ist die Situation bekannt, dass man nach wiederholten Versuchen immer noch auf die erste Sechs wartet.

Aus dem Inhalt:

[...] eine Sechs zu erhalten, d.h. man fragt nach dem Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsgröße. Es gilt folgender Satz: Satz: Eine mit dem Parameter p [...]

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