Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren. Beispiel 1: Hebt man einen Gegenstand mit der Gewichtskraft F G z. B. vom Fußboden auf einen Tisch, so wird mechanische Arbeit verrichtet.
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Das Skalarprodukt zweier Vektoren der Ebene oder des Raumes ermöglicht es, die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren sehr einfach zu formulieren. Dazu werden zunächst die Eigenschaften des Skalarproduktes näher betrachtet.
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Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt a → × b → zweier Vektoren a → u n d b → definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet. Beispiel 1: Eine Balkenwaage, an der zwei Gewichtskräfte F 1 → u n d F 2 → wirken, ist genau dann im Gleichgewicht, wenn r 1 ⋅ F 1 → = r 2 ⋅ F 2 → ist (Hebelgesetz) .
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Schneiden zwei Geraden g 1 u n d g 2 des Raumes einander in einem Punkt S, so bilden sie in der von ihnen aufgespannten Ebene zwei Paare zueinander kongruenter Scheitelwinkel ψ b z w . ψ ' .
Aus dem Inhalt:
[...] g 1 senkrecht ist, kann man eine Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren verwenden: Zwei Vektoren a → u n d b → sind genau dann zueinander senkrecht, wenn a → ⋅ b → = 0 gilt. [...]
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Schneiden zwei Ebenen ε 1 u n d ε 2 einander in einer Geraden g, so bezeichnet man als Schnittwinkel ϕ dieser Ebenen den Winkel zwischen denjenigen beiden Geraden, die eine dritte, zur Schnittgeraden senkrechte Ebene aus ε 1 u n d ε 2 „herausschneidet“.
Aus dem Inhalt:
[...] Der Schnittwinkel ϕ kann aus diesem Grund durch Anwendung der Definitionsgleichung für das Skalarprodukt auf die beiden Normalenvektoren n → 1 u n d n → 2 berechnet werden. Die Gleichungen für n → [...]
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Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper bzw. ein System durch eine Kraft bewegt oder verformt wird. Formelzeichen: W Einheiten: ein Newtonmeter ( 1 Nm) ein Joule (1 J) Die mechanische Arbeit beschreibt einen Prozess; sie ist daher im Unterschied zur Energie eine Prozessgröße.
Aus dem Inhalt:
[...] Die mechanische Arbeit kann allgemein mithilfe folgender Gleichung berechnet werden: W = ∫ s 1 s 2 F → ( s ) d s → Es ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg. [...]
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Eine Ebene ist durch drei Punkte bzw. einen Punkt und zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren eindeutig bestimmt. Hieraus resultieren die analytischen Beschreibungsmöglichkeiten durch entsprechende Ebenengleichungen in parameterfreier Form (Koordinatengleichung, Achsenabschnittsgleichung) und in vektorieller Form (Dreipunktegleichung, Punktrich...
Aus dem Inhalt:
[...] auch beim Skalarprodukt begegnet. Definiert man den Vektor n → = ( a b c ) , so lässt sich Gleichung (2) mit dem Ortsvektor x → zum Punkt X auch wie folgt aufschreiben: n [...]
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Neben der Vielfachbildung von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Aus dem Inhalt:
[...] = ∑ j = 1 n a i j b j ( m i t i = 1, 2, ..., m ) Anmerkung: Jedes Element c i des Vektors c → = A b → ist das Skalarprodukt [...]
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Definition: Die Menge der Geraden der Ebene, die durch einen festen Punkt P 0 geht, heißt Geradenbüschel . Da der Punkt P 0 schon als Schnittpunkt von zwei Geraden eines Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man feststellen, dass jedes Geradenbüschel der Ebene durch zwei seiner Geraden g 1 u n d g 2 eindeutig festgelegt ist.
Aus dem Inhalt:
[...] Aufgrund der Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren gilt dann: g 1 : ( x → − p → 0 ) ⋅ n → 1 = 0 g 2 : ( x → − p → 0 ) ⋅ n → 2 = 0 [...]
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Schneidet eine Gerade g die Ebene ε im Punkt S, so versteht man unter dem Schnittwinkel ϕ von g und ε den kleinsten Winkel, den eine beliebige Gerade aus ε , die durch S geht, mit g bildet.
Aus dem Inhalt:
[...] der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen n → und g : x → = p → 1 + t a → angeben: cos α = [...]
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/schnittwinkel-einer-geraden-mit-einer-ebene
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