Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen. Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für x 1 < x 2 ist auch f ( x 1 ) < f ( x 2 ) .
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Bei der Untersuchung von Funktionen und ihren Anwendungen kann es von Interesse sein zu ermitteln, wie sich die Funktionswerte mit wachsenden Argumenten verändern bzw. wie der Graph der Funktion verläuft, wenn die x-Werte seiner Punkte größer werden.
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Eine Zahlenfolge ( a n ) heißt genau dann monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt: a n + 1 ≥ a n b z w . a n + 1 ≤ a n Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.
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Eine Zahlenfolge ( a n ) heißt genau dann monoton wachsend bzw. monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt: a n + 1 ≥ a n b z w . a n + 1 ≤ a n Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger ist, so spricht man von streng monoton wachsenden (fallenden) Folgen.
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Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden. Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann monoton wachsend , wenn für beliebige x 1 , x 2 ∈ I gilt: x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs D f genau dann ...
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Der Bereich der rationalen Zahlen und der Bereich der irrationalen Zahlen bilden zusammen den Bereich der reellen Zahlen. Reelle Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, dabei gehört zu jeder reellen Zahl genau ein Punkt und zu jedem Punkt genau eine reelle Zahl.
Aus dem Inhalt:
[...] ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c das Distributivgesetz der Addition bezüglich der Multiplikation, d.h. a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c die Monotonie der Addition [...]
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Durch einen dedekindschen Schnitt t werden Zahlenmengen in ein Paar Teilmengen A und B so zerlegt, dass für jedes a ∈ A und jedes b ∈ B die Beziehung a ≤ t ≤ b gilt (wobei t eine reelle Zahl ist).
Aus dem Inhalt:
[...] ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c das Distributivgesetz der Addition bezüglich der Multiplikation, d.h. a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c die Monotonie der Addition [...]
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Der deutsche Mathematiker HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen.
Aus dem Inhalt:
[...] In der Menge ℕ der natürliche Zahlen folgt für c ≠ 0 aus a < b stets a ⋅ c < b ⋅ c ( Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation). In der Menge ℤ der ganzen Zahlen gilt dies bekanntlich so nicht mehr. [...]
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Das Zeichnen der Graphen von Funktionen lässt sich durch das Vorhandensein von Symmetrie(n) stark vereinfachen. Insbesondere treten bei den Graphen zwei Grundsymmetrien auf: Achsensymmetrie (Axialsymmetrie) Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie) Mit Blick auf einige spezielle Funktionen (vor allem periodische Funktionen), z.B. die Tangensfunktion f ( x ...
Aus dem Inhalt:
[...] Beispiel 4: Es sind Symmetrie und Monotonieverhalten der quadratischen Funktion f ( x ) = 3 x 2 + 2 x − 5 sind zu bestimmen. Die Scheitelpunktsform lautet f ( [...]
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In Natur und Technik treten periodische Vorgänge auf. Zu ihrer Beschreibung sind die trigonometrischen Funktionen von besonderer Bedeutung. Diese Klasse von Funktionen wird durch eine weitere Eigenschaft charakterisiert, die Periodizität.
Aus dem Inhalt:
[...] axialsymmetrisch Monotonie Stauchung verschiebungssymmetrisch Funktionen Sinusfunktion Axialverschiebung achsensymmetrisch Streckung Axialsymmetrie Symmetrie [...]
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