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Zwei Zahlen a 1 und a 2 heißen kongruent nach dem Modul b (modulo b), wenn sie bei Division durch b den gleichen Rest lassen, also zur gleichen Restklasse modulo b gehören. Man schreibt: a 1 ≡ a 2 mod b Kongruenz von Zahlen Zwei Zahlen a 1 und a 2 heißen kongruent nach dem Modul b (modulo b), wenn sie bei Division durch b den gleichen Rest lassen (...

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Bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen spielen Teilbarkeitsbeziehungen eine Rolle. So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.

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Jede positive ganze Zahl m gestattet es, in der Menge ℤ der ganzen Zahlen eine Relation der folgenden Art zu definieren: Sind a und b ganze Zahlen, so heißt a kongruent b modulo m , wenn ihre Differenz a − b ein ganzzahliges Vielfaches q ⋅ m von m ist.

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Eine nichtleere Menge G von Elementen a, b, c, ... heißt Gruppe, wenn in ihr eine Operation ∘ erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt: Die Operation ∘ ist assoziativ, d.h. für alle Elemente a , b , c ∈ G gilt a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c .

Aus dem Inhalt:

[...] der multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ℂ \ { 0 } . (6) Die Menge ℤ / m ℤ der Restklassen modulo m bildet bezüglich der Restklassenaddition einen Modul mit m [...]

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Eine Gleichung der Form a x + b y = c mit ganzzahligen Koeffizienten a, b und c, für die ganze Zahlen x und y als Lösungen gesucht sind, heißt eine (lineare) diophantische Gleichung in zwei Unbekannten.

Aus dem Inhalt:

[...] x ] = [ a ]   −   1 ⋅ [ c ] Wegen der Voraussetzung g g T ( a ,   b ) = 1 existiert das inverse Element zur Restklasse mod   b . [...]

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Der Begriff des Ringes baut auf dem Begriff Gruppe auf und gehört ebenso wie dieser zu den grundlegenden Strukturbegriffen der Algebra. Während bei der Gruppe nur eine zwischen den Elementen erklärte Verknüpfung betrachtet wird, werden beim Ring gleichzeitig zwei Verknüpfungen in ihrem gegenseitigen Zusammenhang betrachtet.

Aus dem Inhalt:

[...] sich aus der Mengenlehre auf beliebige algebraische Strukturen. Im Folgenden werden Beispiele für endliche Ringe angegeben: Die m Restklassen [ a ]       mod       m bilden [...]

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Als Beispiel für die Anwendung der Kongruenzrechnung werden hier mit deren Hilfe einige Teilbarkeitsregeln (so für 9 und 11) bewiesen. Diese Regeln können auch für Rechenkontrollen genutzt werden.

Aus dem Inhalt:

[...] In der Restklasse [ 0 ]   m       m i t       m ∈ ℤ       u n d       m > 0 liegen alle ganzen Zahlen, die Vielfache von m sind. Deshalb [...]

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