Die besten Kinderseiten zu: glockenkurven

Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung trägt (vorwiegend im deutschsprachigen Raum) auch die Bezeichnung gaußsche Glockenkurve. Die Normalverteilung selbst wurde allerdings nicht von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) entdeckt.

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Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion ϕ ( x ) : x ↦ 1 2 π e − 1 2 x 2 ( x ∈ ℝ ) und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion. Die Verteilungsfunktion von X wird mit Φ bezeichnet und gaußsche Summenfunktion (bzw. auch gaußsche Integralfunktion oder GAUSSsches Fehlerintegral ) genannt.

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Auf der Suche nach „dem durchschnittlichen, dem normalen Menschen“ (l' homme moyen) ließ der auf vielen Gebieten tätige belgische Wissenschaftler LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET (1796 bis 1874) in den 30er Jahren des 19.

Aus dem Inhalt:

[...] In vielen Fällen wurde dabei seine Vorstellung bestätigt, dass die Häufigkeitsverteilung der gemessenen Werte (etwa zum Brustumfang) einer symmetrischen Glockenkurve [...]

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Ausgehend von der Erfahrung, dass viele Alltagsphänomene, die sich aus unabhängig voneinander wirkenden kleinen Komponenten zusammensetzen, annähernd normalverteilt sind, richtete sich das Augenmerk mehrerer Mathematikergenerationen vor allem auf die Frage, welche Bedingungen man dafür zu fordern hat.

Aus dem Inhalt:

[...] als annähernd normalverteilt betrachtet werden können und warum die grafische Darstellung relativer Häufigkeiten näherungsweise so oft eine gaußsche Glockenkurve ergibt. gaußsche [...]

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* 30. April 1777 Braunschweig † 23. Februar 1855 Göttingen Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.

Aus dem Inhalt:

[...] Mit 18 Jahren fand GAUSS die Methode der kleinsten Quadrate sowie das Gesetz der normalen Fehlerverteilung, das sich bekanntlich in der gaußschen Glockenkurve widerspiegelt. 1796 erkannte GAUSS, [...]

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Eine Normalverteilung N ( μ ; σ 2 ) wird vollständig bestimmt durch ihren Erwartungswert μ und ihre Streuung σ 2 . Es liegt deshalb die Frage nahe, ob man eine beliebige Normalverteilung in eine spezielle Normalverteilung transformieren kann – und zwar in eine mit solchen Parametern, die den Termen ihrer Dichte- und Verteilungsfunktion eine möglich...

Aus dem Inhalt:

[...] Glockenkurve , ist axialsymmetrisch zur y-Achse, weil ϕ ( x ) = ϕ ( −   x ) für alle x ∈ ℝ gilt. Für x = 0 hat der Graph ein Maximum mit dem Wert ϕ ( 0 ) = 1 2 π ≈ 0,399 . Die beiden Wendepunkte liegen bei x 1 = − 1 und x 2 = 1 . [...]

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Bei der praktischen Anwendung der Binomialverteilung B n ; p treten nicht selten große oder sogar sehr große Werte von n (etwa n = 10 000 ) auf, wodurch das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten aufgrund der dabei zu ermittelnden Fakultäten und Potenzen sehr zeitaufwendig wird.

Aus dem Inhalt:

[...] ;   p ( { k } ) ≈ 1 σ ⋅ ϕ ( k − μ σ ) (mit ϕ ( x ) = 1 2 π ⋅ e −   1 2 x 2 als Funktion der gaußschen Glockenkurve und Dichtefunktion der N ( 0 ;     1 [...]

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Wählt man in der tschebyschewschen Ungleichung P ( | X − E X | ≥ α ) ≤ 1 α 2 ⋅ D 2 X für den Parameter α Vielfache der Standardabweichung σ = D X = E ( X − E X ) 2 , setzt man also α = n ⋅ σ , so erhält man: P ( | X − E X | ≥ n ⋅ σ ) ≤ 1 ( n ⋅ σ ) 2 ⋅ σ 2 = 1 n 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens das n-fach...

Aus dem Inhalt:

[...] Unter Beachtung der Symmetrie der Glockenkurve gilt:   ∫ −   ∞ − 3 ϕ ( x )   d x < 1 2 ⋅ ( 1 − 0,99 ) = 0,005. Somit begeht man beim Berechnen von Φ ( a ) = ∫ − ∞ a ϕ ( [...]

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Jede Messung einer physikalischen Größe ist aus den verschiedensten Gründen mit Fehlern behaftet. Um möglichst genaue Messungen durchführen zu können bzw. um die Genauigkeit bereits durchgeführter Messungen einschätzen zu können, muss man die Ursachen für Messfehler, die Größen solcher Fehler und ihre Auswirkungen auf die Genauigkeit des Ergebnisse...

Aus dem Inhalt:

[...] nach GAUSS (gaußsche Glockenkurve, s. Bild 3). Es liegen dann 68,3 % der Messwerte im Bereich x ¯ ± Δ x und 95,4 % im Bereich x ¯ ± 2 Δ x ¯ . Abschätzung [...]

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